In einer Ebene werden Linien als parallel bezeichnet, wenn sie keine gemeinsamen Punkte haben, dh sie schneiden sich nicht. Um die Parallelität zu kennzeichnen, verwenden Sie das spezielle Symbol || (parallele Linien a || b).

Für im Raum liegende Linien die Anforderungendas Fehlen gemeinsamer Punkte ist nicht genug - damit sie parallel im Raum sind, müssen sie zur selben Ebene gehören (sonst werden sie sich vermischen).

Es ist nicht notwendig, weit über Beispiele von parallelen geraden Linien zu gehen, sie begleiten uns überall, im Raum - das sind die Schnittlinien der Wand mit der Decke und dem Boden, auf dem Tetrad-Blatt - gegenüberliegende Kanten usw.

Es ist ziemlich offensichtlich, dass, wenn die Parallelität von zwei geraden Linien und einer dritten geraden Linie parallel zu einem der ersten zwei ist, es parallel und der zweite sein wird.

Parallele Linien in der Ebene sind verbundeneine Behauptung, die nicht mit Hilfe von Planimetrieaxiomen bewiesen werden kann. Es wird als Tatsache genommen, als ein Axiom: für irgendeinen Punkt in einer Ebene, die nicht auf einer Linie liegt, gibt es eine einzelne gerade Linie, die parallel zu der gegebenen verläuft. Jeder Sechstklässler kennt dieses Axiom.

Seine räumliche Generalisierung, das heißt,die Behauptung, dass für irgendeinen Punkt im Raum, der nicht auf einer geraden Linie liegt, eine einzigartige gerade Linie existiert, die parallel zu einer gegebenen verläuft, kann leicht durch das uns bekannte Axiom der Parallelität auf der Ebene bewiesen werden.

Eigenschaften von parallelen Linien

  • Wenn eine der parallelen zwei geraden Linien parallel zu der dritten ist, dann sind sie zueinander parallel.

Diese Eigenschaft besitzt parallele Linien sowohl in der Ebene als auch im Raum.
Betrachten wir als Beispiel seine Rechtfertigung in der Stereometrie.

Nehmen wir an, dass b parallel zu a ist.

Der Fall, wenn alle Linien in derselben Ebene liegen, verlässt die Planimetrie.

Nehmen wir an, a und b gehören zur Betta-Ebene und der Gamma-Ebene, zu der a und c gehören (gemäß der Definition von Parallelismus im Raum müssen die Linien zur selben Ebene gehören).

Angenommen, die Betta- und Gamma-Ebenenanders und markieren Sie einen Punkt B auf der Geraden b von der Betta-Ebene, dann muss die Ebene durch den Punkt B und die Linie c die Ebene der Beta entlang der Linie (mit b1 bezeichnet) schneiden.

Wenn die resultierende gerade Linie b1 die Ebene schneidetGamma, dann sollte der Schnittpunkt einerseits auf a liegen, da b1 zur Betta-Ebene gehört, und andererseits muss er zu c gehören, da b1 zur dritten Ebene gehört.
Aber in Wirklichkeit sollten parallele Linien a und c sich nicht schneiden.

Somit sollte direkte b1 zur Ebene beta gehört und hat keine gemeinsamen Punkte mit a, also nach Axiom der Parallelität, mit b übereinstimmt.
Wir haben eine Linie b1, die mit der Geraden b übereinstimmt, die zu derselben Ebene mit der Geraden c gehört und diese nicht schneidet, dh b und c sind parallel

  • Durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Linie liegt, kann nur eine einzige Linie parallel zu einer gegebenen Linie verlaufen.
  • Auf der Ebene senkrecht zur dritten liegen zwei gerade Linien parallel.
  • Wenn der Schnittpunkt der Ebene einer der parallelen zwei geraden Linien gegeben ist, schneidet dieselbe Ebene die zweite gerade Linie.
  • Entsprechende und quer liegende innere Winkel, die durch den Schnittpunkt zweier paralleler Geraden gebildet werden, sind gleich, die Summe der resultierenden inneren Einseitigen beträgt 180 °.

Die umgekehrten Aussagen, die als Zeichen für die Parallelität zweier Linien gelten können, sind ebenfalls wahr.

Bedingung der Parallelität von Linien

Die oben formulierten Eigenschaften und Eigenschaftenstellen die Bedingungen für parallele Linien dar, und sie können vollständig durch Methoden der Geometrie bewiesen werden. Mit anderen Worten, um die Parallelität zweier existierender Linien zu beweisen, ist es ausreichend, ihre Parallelität der dritten geraden Linie oder die Gleichheit der Winkel, ob übereinstimmend oder kreuzweise usw., zu beweisen.

Für den Beweis,"Im Widerspruch", also unter der Annahme, dass die Linien nicht parallel sind. Ausgehend von dieser Annahme ist es leicht zu zeigen, dass in diesem Fall die gegebenen Bedingungen verletzt sind, zum Beispiel, dass sich querliegende innere Winkel als ungleich erweisen, was die Unrichtigkeit der getroffenen Annahme beweist.